Laplace數(shù)值反變換
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編輯：聊聊云計(jì)算
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2020-07-13 16:55:23
■ 問(wèn)題提出在博文 逆Laplace數(shù)值逆變換 給出了數(shù)值計(jì)算Laplace逆變換的簡(jiǎn)易程序。其中存在以下幾個(gè)問(wèn)題需要討論：?jiǎn)栴}1： 程序?qū)崿F(xiàn)過(guò)程原理以及優(yōu)化；問(wèn)題2： 運(yùn)算參數(shù)：，，對(duì)于積分?jǐn)?shù)值的影響。從上篇博文中明顯看到有些計(jì)算出的結(jié)果大大偏離的實(shí)際值。比如其中的函數(shù)所計(jì)算出來(lái)的幅值超過(guò)了1.01程序?qū)崿F(xiàn)原理以及優(yōu)化1.Laplace逆運(yùn)算所以，算法的核心是對(duì)進(jìn)行傅里葉反變換，然后在乘以。由于確認(rèn)變換后的函數(shù)是實(shí)函數(shù)，因此，為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間，只對(duì)傅里葉反變換的積分，進(jìn)行正半軸的積分，同時(shí)積分的上限由參數(shù)決定。對(duì)積分的數(shù)值取齊實(shí)部，再乘以2便可以得到。2.Python積分程序?qū)崿F(xiàn)優(yōu)化使用梯形積分來(lái)實(shí)現(xiàn)函數(shù)的積分，可以獲得更精確的積分值。理論分析可知：其中 以及 。那么積分誤差上限為：其中，， ?！?圖2.1 梯形積分方法示意圖計(jì)算可以有兩種方式：方式1： 對(duì)左、右黎曼積分加權(quán)平均：方式2： 利用如下的公式計(jì)算：最后實(shí)現(xiàn)的代碼為：def trapz(f, a, b, N=50): x = linspace(a, b, N+1) y = f(x) y_right = y[1:] y_left = y[:-1] dx = (b-a) / N T = dx/2 * sum(y_right + y_left) return T利用上述公式，對(duì)進(jìn)行積分測(cè)試：printf(trapz(sin, 0, pi/2, 1000))所得到結(jié)果為：0.9999997943832332。可以看到使用n=1000對(duì)應(yīng)的結(jié)果后面的積分精度達(dá)到了小數(shù)點(diǎn)后面6位9的小數(shù)點(diǎn)的位數(shù)。3.實(shí)現(xiàn)Laplace逆運(yùn)算通過(guò)上面梯形積分方法，實(shí)現(xiàn)Laplace數(shù)值逆變換，具體的子程序如下面所示。#------------------------------------------------------------def invlt(t, fs, sigma, omiga, nint): omigadim = linspace(0, omiga, nint+1, endpoint=True) y = [(exp(1j*o*t) * fs(sigma+1j*o)).real for o in omigadim] y_left = y[:-1] y_right = y[0:] T = sum(y_right + y_left) * omiga/nint return exp(sigma*t) * T/ pi / 2#------------------------------------------------------------def fs(s): return 1/(s*s+1)#------------------------------------------------------------sigma = 0.2omiga=200nint=omiga*50tdim = linspace(0, 2*pi* 3, 200)ft = [invlt(t, fs, sigma, omiga, nint) for t in tdim]02一些基本函數(shù)的實(shí)驗(yàn)下面通過(guò)對(duì)一些基本常見(jiàn)函數(shù)的laplace變換，來(lái)測(cè)試一下上述程序的性能。Ⅰ.sin(t)sigma=0.2, omiga=200, nint=omiga*50Ⅱ.exp(-t)sigam=-1+0.1, omiga=200, nint=omiga*50Ⅲ.u(t)Ⅳ.u(t-1)Ⅴ.周期化脈沖信號(hào)※ 結(jié)論通過(guò)原理分析，可以獲得建議的Laplace數(shù)值逆運(yùn)算的正確的PYTHON算法程序。這個(gè)程序是直接對(duì)Laplace反變換公式利用梯形積分方法獲得計(jì)算結(jié)果。通過(guò)對(duì)幾種常見(jiàn)的信號(hào)Laplace的反變換，驗(yàn)證了這個(gè)算法的正確性。通過(guò)在此過(guò)程，可以看到，對(duì)于參數(shù)sigma, omiga, nint對(duì)于計(jì)算結(jié)果還是有很大的影響。另外，對(duì)于時(shí)間t，只能在比較小的范圍內(nèi)有效，當(dāng)t超過(guò)一定長(zhǎng)度，前面所計(jì)算的結(jié)果都會(huì)出現(xiàn)比較大的誤差?！?對(duì)于方波進(jìn)行Laplace數(shù)值反變換的結(jié)果參考資料逆Laplace數(shù)值逆變換: https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/107241738公眾號(hào)留言
卓大大，請(qǐng)問(wèn)AI電磁組不進(jìn)圓環(huán)會(huì)加時(shí)間嗎？規(guī)則上寫(xiě)不要求進(jìn)圓環(huán)，但圓環(huán)進(jìn)比不進(jìn)的時(shí)間更長(zhǎng)一些，那這個(gè)賽道元素的意義是什么？之前記得您有過(guò)類似回答，但是找不到了謝謝您~
回復(fù)：這主要是為了使得AI電磁組能夠在普通的賽道上完成比賽，而不必對(duì)賽道進(jìn)行改造。同時(shí)，圓環(huán)的存在也會(huì)對(duì)AI電磁組在數(shù)據(jù)訓(xùn)練是產(chǎn)生影響。
卓老師好，關(guān)于AI電磁組的有個(gè)情況需要向您反映一下，規(guī)則中規(guī)定車模運(yùn)行方向不限，這里有個(gè)bug，如果車倒著跑，電感依然只距離后輪軸心往前5cm,這樣安裝是符合目前公布的規(guī)則的，但因?yàn)槎鏅C(jī)在后，也就是轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)在后，相當(dāng)于獲得了25cm+的物理前瞻，這樣通過(guò)傳統(tǒng)電磁尋跡的方法也能輕松獲得不錯(cuò)的速度，我想這里應(yīng)該是一個(gè)BUG。
現(xiàn)在因?yàn)闀r(shí)間緊，不少同學(xué)都想用傳統(tǒng)方法來(lái)鉆空子，同時(shí)因?yàn)榻衲隂](méi)有全國(guó)統(tǒng)一場(chǎng)地的國(guó)賽，還有云比賽的存在，對(duì)參賽車模具體采用了什么方法也不利于檢查，需要更多的人力，，所以我認(rèn)為應(yīng)該限制運(yùn)行方向，不能倒著跑，從一定程度上可以打消部分人鉆空子的念頭，此建議僅供卓老師參考。
回復(fù)：謝謝你的建議。關(guān)于這方面，我們將會(huì)給出競(jìng)賽規(guī)則補(bǔ)充說(shuō)明，限制車模只能往前行。
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